פרסים שקטנים בסכום קבועסדרות 472 · שיעור 7
בגרות 3 יחידות · שאלון 35381 · קיץ 2022 מועד ב, שאלה 2
שיעור 7: פרסים שקטנים בסכום קבוע
פרק 2 – סדרה חשבונית ברמת 3 יחידות (שאלות בגרות)
1נוסח השאלה
2סעיף א – הפרס הראשון
3סעיף ב – מספר הקבוצות
4סעיף ג – סכום כל הפרסים
📄 נוסח השאלה
בשלב הגמר של תחרות קיבלה כל קבוצה פרס כספי: הקבוצה שדורגה במקום הראשון קיבלה את הפרס הראשון, הקבוצה שדורגה במקום השני קיבלה את הפרס השני וכן הלאה.
הפרסים מהווים סדרה חשבונית: הפרס הראשון הוא הגבוה ביותר, וכל פרס אחריו קטן מקודמו במספר שקלים קבוע.
הקבוצה שדורגה במקום השלישי קיבלה פרס של 1,400 שקלים. הקבוצה שדורגה במקום השישי קיבלה פרס של 950 שקלים.
📄 נוסח השאלה · המשך
א. מצאו מה היה גובה הפרס שקיבלה הקבוצה שדורגה במקום הראשון.
ב. הקבוצה שדורגה במקום האחרון קיבלה פרס של 500 שקלים. מצאו כמה קבוצות הגיעו לשלב הגמר.
ג. מה היה סכום הכסף הכולל של הפרסים שחולקו לכל הקבוצות שהגיעו לשלב הגמר?
סעיף א – הפרס הראשון
an = הפרס של המקום ה־n. נתון a3 = 1,400 ו־a6 = 950. הפרסים קטנים, לכן ההפרש d יצא שלילי.
a3 = a1 + 2d = 1,400
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
a6 = a1 + 5d = 950
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
מחסירים את המשוואה הראשונה מהשנייה:
3d = 950 − 1,400
3d = −450
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף א – הפרס הראשון · המשך
3d = −450
d = −150
מציבים במשוואה הראשונה:
a1 + 2 · (−150) = 1,400
a1 − 300 = 1,400
a1 = 1,700
סעיף א – הפרס הראשון · המשך
a1 = 1,700
בדיקה: a6 = 1,700 + 5 · (−150) = 1,700 − 750 = 950 ✓
✅ פתרון סופי: 1,700 שקלים
סעיף ב – מספר הקבוצות
הפרס האחרון הוא an = 500, ו־n הוא מספר הקבוצות.
500 = 1,700 + (n − 1) · (−150)
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
500 − 1,700 = (n − 1) · (−150)
−1,200 = (n − 1) · (−150)
n − 1 = −1,200−150 = 8
n = 9
📐 איבר כללי בסדרה חשבונית
an = a1 + (n − 1)d
סעיף ב – מספר הקבוצות · המשך
n = 9
✅ פתרון סופי: 9 קבוצות
סעיף ג – סכום כל הפרסים
S9 = 9 · (1,700 + 500)2
📐 סכום בסדרה חשבונית
= 9 · 2,2002 = 9 · 1,100 = 9,900
✅ פתרון סופי: 9,900 שקלים
📐 סכום בסדרה חשבונית
Sn = n(a1 + an)2
📌 סיכום התשובות
סעיף א
1,700 שקלים
סעיף ב
9 קבוצות
סעיף ג
9,900 שקלים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא